Методика вивчення множення.
Вже з початкової школи учні знають, що множенням натуральних чисел називають додавання однакових доданків. На етані повторення важливо, щоб учні після розв'язування певної кількості прикладів змогли виконати узагальнення і сформулювати означення для двох чисел а і Ь у вигляді: помножити число а на число b означає знайти суму b доданків, кожний з яких дорівнює а. Доцільно звернути увагу учнів на те, що це означення поширюється лише у випадку натурального числа Ь, відмінного від 1. Для добутку а-і потрібна спеціальна домовленість (означення), що а 1 = а. Така сама спеціальна домовленість запроваджується для дії а 0 = 0.
У системі вправ потрібно передбачити як прямі завдання (записати у вигляді добутку суму: 6 + 6 + 6 + 6; т + т + т + т), так і обернені (записати у вигляді суми добуток: 125-4; а7 ).
Для закріплення і кращого усвідомлення означення дії множення слушними є такі запитання.
1. Чи будь-яке додавання можна замінити множенням? (Ні. Якщо не всі доданки однакові, зробити це не можна.)
2. Чи будь-яке множення можна замінити додаванням? (Ні. Лише таке, коли множник відмінний від одиниці і нуля.)
Множення одиниці на натуральне число а(\а = а) і нуля на число а(0-а = 0) обґрунтовують, виходячи з означення дії множення.
Під час розв'язування вправ на множення багатоцифрових натуральних чисел стовпчиком цікавими для учнів можуть виявитись такі питання стосовно певного прикладу:
1) Чому в цьому прикладі при множенні на 3 записали добуток 981, змістивши всі цифри на один розряд ліворуч? (Очікувана відповідь: оскільки множення виконувалось на 3 десятки, а при зміщенні цифри на одне місце ліворуч її значення збільшується в 10 разів.)
2) Чи правильно ми зробили, помноживши число 327 спочатку на 5 одиниць, а потім - на 3 десятки і лише потім виконавши додавання отриманих добутків? Який закон множення ми застосували? (Очікувана відповідь: ми скористалися розподільним законом множення щодо додавання, уявивши число 35 у вигляді суми розрядних доданків.)
Слід приділити увагу запобіганню помилкам, яких деякі учні припускаються під час множення на числа, що закінчуються нулями або містять нулі всередині.
Шкільна практика свідчить, що в учнів не виникає особливих труднощів стосовно питання про зміну добутку в разі збільшення (зменшення) одного або двох компонентів у кілька разів. Учні самостійно обґрунтовують відповідні висновки для конкретних прикладів. Відомо, що одночасне збільшення одного множника в кілька разів і зменшення другого в стільки само разів ефективно використовується для усного скороченого множення на 5, 25, 125. Наприклад, добуток 24-25 можна усно обчислити двома способами:
1. Запишемо добуток 24 100. Його легко обчислити. Це число 2400, яке в чотири рази більше за шуканий добуток. Поділивши його усно па 4, дістанемо 600.
2. (24:4)-(25-4).
Перевіряють дію множення множенням з перестановкою множників або за допомогою калькулятора.
Основні закони множення, як і додавання, потрібно повторювати, ілюструючи їх застосування для раціоналізації обчислень. Наприклад, переставний закон дає змогу швидше обчислити добуток 25 • 639 • 4, як-іцо переставити співмножники. Переставляючи третій множник з другим, можна обчислити усно добуток
25 • 639 • 4 = 25 • 4 • 639 = 100 • 639 = 63 900.
Розподільний закон також часто використовують для раціоналізації обчислень. Наприклад,
33 • 125 = (32 + 1) • 125 = 32 • 125 + 125 = 32(100 + 25) + 125 = 4000+125 = 4125.
Методика вивчення ділення.
Дію ділення означають аналогічно дії віднімання як дію, обернену множенню: поділити число а на число Ь означає знайти таке число х, при множенні якого на число Ь дістанемо число а. Це означення потрібно закріпити усними вправами на зразок: поясніть, що означає поділити число 96 на 32. В результаті міркувань за означенням учні складають рівність х 32 = 96.
Відразу можна обґрунтувати рівність 0 : а = 0. Вона випливає з рівності 0-а =0. «Заборона» ділення на нуль приймається за означенням. Проте доцільність такої заборони можна пояснити відповідною рівністю, записаною на основі означення дії ділення. Справді, припустимо, що ми хочемо число 8 поділити на 0. Це означає: потрібно знайти таке число х, що х-0 = 8. Однак ця рівність не виконується за жодного значення х, оскільки за будь-якого х добуток х 0 дорівнює 0 (це також приймається за означенням під час введення дії множення).
З погляду ідеї дальшого розширення поняття числа слід звернути увагу на виконуваність дії ділення у множині натуральних чисел. Вона не завжди можлива, як і дія віднімання. Наприклад, число 7 не ділиться без остачі на число 2, оскільки немає такого натурального числа х, за якого виконувалась би рівність х-'1 = 1.
З усіх чотирьох арифметичних дій найбільша кількість помилок, яких припускаються учні, припадає на дію ділення. Правило і сама дія ділення на натуральне число найгірше сприймаються у випадках, коли між цифрами частки є нулі. Наприклад, у результаті ділення 105 на 35 дістають 33 замість 3003. У посібнику [112] подано рекомендації щодо уникнення таких помилок: потрібно навчити учнів ще до виконання ділення визначати кількість цифр у частці.
Наприклад, нехай потрібно поділити 14 035 на 7. Найвищий розряд діленого - десятки тисяч. Якщо відокремити в діленому одну цифру 1, то один десяток тисяч на 7 не ділиться, тому десятків тисяч у частці не буде. Частка почнеться з одиниць тисяч, тобто буде чотирицифровим числом.
Аналогічно можна міркувати, підраховуючи кількість цифр у частці при діленні на двоцифрове число. Наприклад, при діленні 65 025 864 на 18 відокремлюємо в діленому перші дві цифри 65 мільйонів. Число 18 міститься в 65 три рази з остачею. Отже, найвищим розрядом у частці будуть одиниці мільйона, тобто частка буде семицифровою.
Можна ознайомити учнів із загальним прийомом визначення кількості цифр у частці: відокремивши в діленому стільки цифр, скільки їх у дільнику, підраховуємо, скільки цифр залишилось в діленому. Шукана частка міститиме стільки само цифр або на одну більше. Обґрунтувати це можна так: якщо відокремлене спочатку число ділиться (з остачею або без остачі) на дільник, то в частці дістанемо одну першу цифру, а якщо не ділиться, то не дістанемо такої цифри. При «знесенні» кожного наступного розряду діленого дістанемо в частці по одній цифрі.
Слід наголосити, що під час ділення потрібно щоразу «зносити» по одній цифрі і виконувати ділення отриманого числа так, щоб остача була завжди меншою від дільника. Недотримання останньої вимоги може призвести до грубих помилок на зразок такої:
Завершити систематизацію відомостей про дію ділення доцільно повторенням типів простих задач, які нею розв'язуються. Основні з них: 1) відшукування невідомого множника за відомим добутком і другим множником; 2) задачі на кратне порівняння (у скільки разів одне число (величина) більше (менше) ніж друге); 3) ділення на частини (наприклад, 15 см : 3 = 5 см); 4) ділення на вміщення (наприклад, 45 см : 3 см = 15) - з'ясування, скільки разів одна однорідна величина вміщується в другій.
З метою підготовки до вивчення десяткових дробів важливо звернути увагу учнів на залежність результату дії ділення від зміни діленого і дільника, зокрема сформулювати основну властивість частки.
Розв'язуючи комбіновані вправи на всі дії з натуральними числами, важливо повторити порядок дій при обчислення виразів. З початкової школи учні мають знати: 1) якщо у виразі позначені лише дії І ступеня (додавання та віднімання), то їх виконують зліва направо в тому порядку, в якому вони записані; 2) якщо у виразі позначені лише дії II ступеня (множення та ділення), то їх також слід виконувати зліва направо в порядку слідування у виразі; 3) якщо у виразі є дії І і II ступенів, але відсутні дужки, то спочатку потрібно виконувати дії другого ступеня, а потім - першого в порядку їх слідування; 4) якщо вираз має дужки, то спочатку виконують дії в дужках. У зв'язку з повторенням порядку використання дужок потрібно зробити такі уточнення: у виразі (5-6): 10 = 3 дужки зайві, проте у виразі 90 : (3 • 5) = б вони необхідні.
